Площадь трапеции: как вычислить, формула

В математике известно пара видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные противоположные стороны именуются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, что соединяет середины боковых сторон, именуется средней линией. Существует пара видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная.

Для каждого вида трапеции имеется формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Дабы отыскать площадь трапеции, необходимо знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пускай верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S возможно по формуле:

S = ? * (a+b) * h

т.е. забрать полусумму оснований, умноженную на высоту.

Площадь трапеции: как вычислить, формула

Трапеция

Кроме этого удастся вычислить площадь трапеции, в случае если известно значение средней линии и высоты. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

S = h * m

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

В случае если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ? * d1 * d2 * sin ?

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ? * (b2 — a2) * (sin ? * sin ? / sin(? + ?))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон.

Ее боковые стороны равны.

Равнобедренная трапеция

Отыскать площадь равнобедренной трапеции возможно несколькими методами.

  • Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, исходя из этого обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:
  • В случае если известна протяженность верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin ? * (a + c * cos ?)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

  •  В случае если вместо верхнего основания известна протяженность нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin ? * (b – c * cos ?)

  • В случае если в то время, когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ? * (b2 – a2) * tg ?

  • Кроме этого площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, исходя из этого каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ? * d2 * sin ?

  • Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пускай боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin ?

Время от времени в равностороннюю трапецию возможно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Круг в трапеции

Как мы знаем, что в любую трапецию возможно вписать окружность, в случае если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin ?

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он сходится с высотой трапеции):

S = D2 / sin ?

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin ?

(эта и последующие формулы верны лишь для трапеций с вписанной окружностью).

Трапеция в круге

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

S = r * (a + b)

В случае если известны лишь основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной именуется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине сходится с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция является квадратом и треугольник. Отыскав площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите неспециализированную площадь фигуры.

Прямоугольная трапеция

Кроме этого для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят неспециализированные формулы для расчета площади трапеции.

  • В случае если известны длины оснований и высота (либо перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

  • Второй метод вычислить площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

S = m * h

либо на длину боковой перпендикулярной стороны:

S = m * c

  • Следующий метод вычисления — через синус произведения угла и половину диагоналей между ними:

S = ? * d1 * d2 * sin ?

Прямоугольная трапеция с перпендикулярными диагоналями

В случае если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ? * d1 * d2

  • Еще один метод вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

S = (a + b) * r

Эта формула настояща для оснований. В случае если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет смотреться так:

S = (2r + c) * r

  • В случае если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

S = 2m * r

где m — протяженность средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция является плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной постоянной функции y = f(x), определенной на отрезке [a;b], прямыми и осью абсцисс x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая является кривой , соответствующую графику функции.

Криволинейная трапеция

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади разных видов трапеций. Но, кроме особенностей сторон, трапеции владеют однообразными особенностями углов.

Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Площадь трапеции


Похожие статьи, подобранные для Вас: