Задачи повышенной трудности.

Абрамсон стр. 1 12.12.2017

Конспект №4

Упражнение №1*.

Смогут ли числа 2, 3, 5 быть участниками (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии?

Упражнение №2.

Как мы знаем, что уравнение ах2+bx+c=0 имеет корни х1 и х2. Какие конкретно корни имеет уравнение сх2+bx+а=0?

Упражнение №3*.

Пускай уравнение х2+рx+q=0 имеет корни х1 и х2, а уравнение у2+ry+s=0 имеет корни y1 и y2. Выразите (у1-х1)(у1-х2)(у2-х1)(у2-х2) через p, q, r и s.

Полученный вами многочлен второй степени от четырёх переменных – коэффициентов квадратных трёхчленов, именуется их результантом.

Он равен нулю тогда и лишь тогда, в то время, когда два трёхчлена имеют неспециализированный корень.

В некоторых случаях многочлен возможно разложить в произведение многочленов первой степени, к примеру Р(х)=(х-2)(2х-3)(1,5х+8) либо Q(y)=(y-3)2(2y+5)3.
deg P(x)=3 и у него 3 корня: х=2, х=1,5 и х=- Задачи повышенной трудности. . deg Q(y)=5 и у него 2 корня: y=3 y=-2,5. Но в случае если расписать Q(y)=(y-3)?(y-3)?(2y+5)?(2y+5)?(2y+5), то мы видим, что корень y=3 повторяется два раза, а корень y=-2,5 – трижды. Говорят, что y=3 – кратный корень кратности 2, а y=-2,5 — кратный корень кратности 3. Корни кратности 1 именуются несложными. Сравните с разложением натуральных чисел на простые множители: 72=23?32.

Кстати, в случае если многочлен не разлагается в произведение вторых многочленов степени не меньше 1, то он также именуется простымилипримитивным.
В случае если вычислять корни вместе с их кратностями, то у многочлена 5-ой степени Q(y) их будет 5: 2 корня y=3 и 3 корня y=-2,5.

Упражнение №4.

Докажите (к примеру, по индукции), что у многочлена степени n не может быть больше, чем n корней (полагая корни с их кратностями).

Упражнение №5.

a) На склад привезли две однообразные бочки раствора малоизвестной (быть может, различной) концентрации. Нужно добиться однообразной концентрации в обеих бочках. Имеется третья прибор и пустая бочка, разрешающий переливать любое количество раствора из бочки в бочку.
Как добиться равной концентрации в обеих бочках?

b) На склад привезли три однообразных бочки раствора малоизвестной (быть может, различной) концентрации. Имеется ещё четвёртая прибор и пустая бочка, разрешающий переливать любое количество раствора из бочки в бочку. Нужно добиться однообразной концентрации во всех бочках.
Как это сделать?

c) На склад привезли n однообразных бочек раствора малоизвестной концентрации. Имеется ещё одна прибор и пустая бочка, разрешающий переливать любое количество раствора из бочки в бочку. Нужно взять однообразную концентрацию во всех бочках. Как этого добиться?

Упражнение №6.

Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сперва он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а позже произвольно – влево либо вправо, но любой его следующий прыжок в два раза больше прошлого. Сможет ли он когда-либо возвратиться в исходную точку?

Следующие задачи являются тяжёлыми и необязательными. Мы их, непременно, когда-нибудь решим, а до тех пор пока что я их предлагаю для свободного размышления. Кто примет решение – пускай заявит об этом и поведает (возьмёт, очевидно, 5). Знаний у вас достаточно, дабы их решить, но требуется не простое использование этих знаний, а изрядная смекалка.

Задачи повышенной трудности.

Упражнение №7*.

Придумайте такую функцию, определённую на отрезке [-4,4], график которой переходил бы сам в себя при повороте на 90° около начала координат (hint: remember, that functions need not to be continuous, their graphs can consist of separate pieces)

Упражнение №8*.

Решите совокупность уравнений:

Задачи повышенной трудности. (hint: from the first equation y³0,5. After substitution x into the second equation remember Bezout theorem)

Упражнение №9*.

Среди натуральных чисел, меньших 100, выбрали 51 разное число.

Докажите, что из них возможно выбрать 6 таких чисел, что никакие два из выбранных не будут иметь однообразных цифр ни в одном разряде.
(hint: use Dirichlet principle (or principle of boxes, drawer principle). One can find ten which holds 6 of these numbers. Continue.)

Упражнение №10*.

Решите в целых числах уравнение m(m+1)=n3. (hint: prove, that m=k3)

Составляя дерево возможностей (“в случае если а, то либо b либо с либо d”), выясните,

Упражнение №11

Возможно ли выписать 9 цифр 1,2,…,9 по кругу так, дабы сумма никаких двух соседних цифр не делилась бы ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Рассуждая логически (а не перебором всех вероятных вариантов) и сводя к минимуму проверки вероятных комбинаций,

Упражнение №12*

Выясните порядок, в котором расположились в итоговой турнирной таблице 5 команд, в случае если как мы знаем, что участник, предположивший, что они займут места в порядке
А, B, C, D и E не только не предугадал место ни одной из команд, но кроме того ни одной пары следующих приятель за втором команд! Второй же участник, предсказавший, что они займут места в порядке D, A, E, C и B предугадал места двух команд и две пары следующих приятель за втором команд.

Детально обрисуйте движение ваших рассуждений (серьёзен не столько сам ответ, а и путь к нему)

Комбинаторика.

Комбинаторика изучает два типа задач. Первый тип – узнать, существует ли конфигурация элементов в некоем множестве с заданными чертями.

Второй тип – выяснить число таких конфигураций либо дать их классификацию.

В большинстве случаев число элементов в таких конфигурациях само собой разумеется.

Как это не страно, многие результаты комбинаторики основаны на всего двух в полной мере интуитивно очевидных (и легко формально обосновываемых по индукции) правилах.

Правило суммы.

Пускай множество S складывается из m элементов, |S|=m, а множество Т складывается из n элементов, |T|=n и TCS=?. Тогда |SET|=m+n.

Используется оно в следующей обстановке: в случае если нам нужно выбрать один элемент или из S, или из T, то у нас имеется для этого m+n комбинаций.

Обобщение этого правила на пара слагаемых звучит так: пускай T1,T2,…,Tn – разбиение множества М и |Ti|=ti, i=1,2,…,n. Тогда |M|= Задачи повышенной трудности. .

Правило произведения.

Пускай множество S складывается из m элементов, |S|=m, и для каждого элемента sIS вероятен выбор одного из n элементов множества Т (в котором возможно и более, чем n элементов). Тогда число всевозможных пар (s,t) равняется m?n.

Задачи повышенной трудности.Множество всех таких упорядоченных пар (s,t) обозначим M(S,T,n). Обобщённое правило произведения утверждает: в случае если |T1|=n1, M2=M(T1,T2,n2), M3=M(M2,T3,n3),…,Mr=M(Mr-1,Tr,nr), то |Mr|=n1n2?…?какое количество.

Множество Mr является множеством всевозможных последовательностей длины r (x1,x2,…,xr), где xiITi. Последовательность (x1,x2,…,xr) именуют время от времени кортежем. В случае если все Ti являются одно да и то же множество Т, то кортеж (x1,x2,…,xr) именуют r-выборкой. В случае если наряду с этим все элементы xi в r-выборке разны, то такую r-выборку именуют r-перестановкой из n элементов.

Мы уже узнали ранее, что число Р(n,r) r-перестановок из n элементов равняется P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1). Кстати, это частный случай правила произведения, в то время, когда Т1=Т2=…=Тr n1=n, n2=n-1,…nr=n-r+1. В частности, Р(n,n)=n! Имеется ещё обозначение и одно название для r-перестановок из n элементов: размещения без повторений из n элементов по r. Их число, P(n,r) обозначается как Задачи повышенной трудности. (от слова “Arrangement”).

Размещения без повторений из n по n именуются перестановками (permutation).

Перестановкой с повторениями именуется любой кортеж длины n в котором любой знак i видится ni раз. К примеру, разглядим множество всех слов длины 8, складывающихся из четырёх букв п, м, а, р. Тогда в слове «папамама» п и м видятся по два раза, а – 4, р – ни одного. В случае если эти буквы занумеровать числами 1,2,3 и 4, то мы возьмём в отечественном примере n=8, k=4, n1=n2=2, n3=4, n4=0. В случае если вместо букв применять цифры, то последовательности длины n из k цифр 1, 2,…,k являются элементами множества An, где А={1,2,…,n}. К примеру, вместо «рамапара» мы написали бы 43231343 и при k=4, n=8 имели бы n1=1, n2=1, n3=4, n4=2. Увидим, что во всех словах n1+…+nk=n.

Множество всех перестановок с повторениями обозначим как S(n1, n2,…nk).

При k=n и n1=n2=…=nn=1 |S(1,…1)|=P(n,n)=n!.

Решая следующее упражнение, начните со случая (часто бывает полезно идти от несложного к сложному), в то время, когда только одно из ni¹1.

Упражнение №13.

|S(n1, n2,…nk)|= Задачи повышенной трудности.

Выведите отсюдаполиномиальную теорему:

Упражнение №14

(x1+…+xk)n= Задачи повышенной трудности.

При k=2 приобретаем ветхую, привычную биномиальную теорему.

Но, возможно полиномиальную теорему вывести (по индукции) из биномиальной.

Неупорядоченные подмножества, складывающиеся из k элементов, данного множества из n элементов, именуются сочетаниями без повторений из n элементов по k.

А сейчас из биномиальной теоремы выведите следующий факт:

Упражнение №15.

Число всех подмножеств из k элементов во множестве из n элементов равняетсяЗадачи повышенной трудности. .

В упражнениях, в которых содержится некое утверждение, его нужно доказать.

Упражнение №16.

Число всех пар (А,В) подмножеств множества {1,2,…,n} таких, что АIВ, равняется 3n.

Упражнение №17*.

Число ответов уравнения x1+…+xk=n в натуральных числах равняется Задачи повышенной трудности. .К примеру, число натуральных ответов уравнения х+у+z=5 равняется Задачи повышенной трудности. .

(Hint: make correspondence, for example: (3,2,2)®(001010); (2,4,1)®(010001) and reduce the problem to ex.#15)

Упражнение №18.

Число ответов уравнения x1+…+xk=n в целых неотрицательных числах равняется Задачи повышенной трудности. .

Числовые ответы в комбинаторных задачах в большинстве случаев бывают громадны. Исходя из этого их возможно не вычислять в виде числа, записанного в собственной десятичной записи, а оставлять в виде, к примеру, произведения каких-то его делителей либо формулы, содержащей биномиальные коэффициенты.

Упражнение №19.

Во какое количество пятизначных числах все цифры разны?

Упражнение №20.

Каких чисел от 1 до 10 миллионов больше: тех, в 10-ой записи которых видится 1, либо тех, в которых её нет? (Answer is: number of those, where there is “1”, is greater)

Упражнение №21.

Параллельными прямыми на плоскости именуются две прямые, каковые или совпадают, или не имеют неспециализированных точек. Даны три разных точки, А, В и С. Из каждой совершили по n прямых так, что никакие две из них не параллельны и никакие три из них не пересекаются в одной точке (не считая самих точек А, В и С). Отыщите число точек пересечения данных прямых, не считая самих точек А, В и С. (Answer is 3n2)

Упражнение №22.

На плоскости совершили 20 прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Отыщите
а) число точек пересечения этих прямых; (190)
b) число треугольников, образованных этими прямыми. (2280)

Упражнение №23*.

На книжной полке стоит n книг. какое количество методами возможно выбрать из них k книг так, дабы не брать две рядом стоящие книги? Применить ваш итог к случаю, в то время, когда нужно выбрать так 4 тома из 10-томного собрания сочинений. (35)

(Hint: reduce this problem to the problem of distributing k units among n-k zeros)

Формула исключений и включений.

Как вы, надеюсь, не забывайте ещё из первого конспекта, в случае если А и В – конечные множества, то|AEB|=|A|+|B|-|ACB|.Опираясь на результат и действуя по индукции, получите обобщение данной формулы на случай нескольких множеств:

Упражнение №24

|A1E…EAn|= Задачи повышенной трудности.Задачи повышенной трудности. + Задачи повышенной трудности. -…+(-1)n-1|A1CA2C…CAn|.

Характеристической функцией cA подмножества А универсального множества U именуется функция, принимающая значение 1 на всех элементах множества А и принимающая значение 0 на всех остальных элементах множества U (т.е., на дополнении Ас множества А в U). Характеристическая функция самого U – это легко функция, тождественно равная 1, равно как характеристическая функция безлюдного множества тождественно равна нулю.

Из определения легко направляться, что cACB(u)=cA(u)cB(u) и Задачи повышенной трудности. =1-cА
Для конечных множеств |A|= Задачи повышенной трудности. .

Пользуясь тем (кто забыл – см. конспект №1), что A1E…EAn= Задачи повышенной трудности. ,

Упражнение №25

a) Дайте ещё одно (вторым методом) подтверждение формулы включений-исключений.

b) Продемонстрируйте, что следующая задача (значительно чаще употребляемая в приложениях) есть легко другой формулировкой формулы включений-исключений:

пускай имеется N предметов, любой из которых может владеть особенностями a1,…,an. Пускай N(aiaj…ak) свидетельствует число предметов, владеющих особенностями ai, aj,…,ak (и, возможно, ещё какими-то вторыми). В случае если же предметы не владеют каким-то свойством, то над этим свойством ставим линии. К примеру, Задачи повышенной трудности. свидетельствует число предметов, владеющих особенностями а1 и а2 и не владеющих особенностями а3 и а4.
Так вот, имеет место следующая формула:

Задачи повышенной трудности. Упражнение №26

В НИИ трудятся 67 человек. Из них 47 знают английский язык , 35 – германский и 20 — французский, 23 – знают британский и немецкий, 12 британский и французский, 11- германский и французский и 5 человек знают все три языка.

какое количество человек в этом университете не знают ни одного языка?

Упражнение №27

Староста одного класса дал следующие сведения об учениках:

«в классе обучаются 45 школьников, а также 25 мальчиков. 30 обучаются на «прекрасно» и «превосходно», а также 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, среди которых 18 мальчиков и 17 школьников, каковые обучаются на «прекрасно» и «превосходно». Обучаются на «прекрасно» и «превосходно» и одновременно с этим занимаются спортом 15 мальчиков».

Точны ли эти сведения?

Упражнение №28

какое количество целых чисел от 0 до 999 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Упражнение №29

В составлении 40 задач для олимпиады школьников учавствовали 30 студентов со всех 5 направлений. Каждые два студента с одного курса придумали равное количество задач, а каждые два студента с различных направлений придумали различное количество задач. какое количество человек придумало одну задачу?

Упражнение №30*

a) какое количество методами из последовательности 1, 2,…, 2n возможно извлечь три числа, являющихся тремя последовательными участниками одной арифметической прогрессии? (n(n-1))

b) Тот же вопрос для последовательности 1, 2,…, 2n+1. (n2)

(Hint: find out, how many solutions has inequality a+2d?2n)

Упражнение №31

какое количество двузначных чисел в сумме с числом, записанном теми же цифрами в обратном порядке, даёт полный квадрат?

Упражнение №32

Четыре числа сложили всеми методами по два и взяли шесть сумм: 2, 4, 9, 9, 14 и 16. Отыщите эти числа.

Упражнение №33*

В математическом кружке занимаются 6 учеников. За некое время любой из них был на занятиях 7 раз, каждые двое встретились в том месте 5 раз, каждые трое – 4 раза, каждые четверо – 3 раза, каждые пять 2 раза и все шесть – 1 раз. Любой отсутствовал на уроках 8 раз. какое количество занятий было за это время? какое количество раз преподаватель сидел в одиночестве?

Упражнение №34.

какое количество методами возможно навесить 5 колец на 8 гвоздей, в случае если на один гвоздь не навешивать более одного кольца?

Упражнение №35.

какое количество методами возможно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти?
А вдруг все они должны быть разными (т. е., дабы не было двух королей либо двух дюжина, к примеру)?

Упражнение №36.

какое количество методами возможно находиться на шахматной доске 8 ладей так, дабы они не могли бить друг друга?

Упражнение №37.

На званый вечер приглашены пять мужчин и пять дам. Наоборот каждого места на стол нужно поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть. Наряду с этим лица одного пола не должны сидеть рядом.
какое количество методами возможно расставить таблички?

Упражнение №38.

У мамы два однообразных яблока, 3 однообразных одинаковых апельсина 4 и мандарина. Ежедневно в течение 9 дней подряд она выдаёт сыну по одному фрукту. какое количество методами она может это сделать?

Упражнение №39*.

Пускай Mr – число размещений без повторений из m элементов по r, а Nr – число размещений без повторений из n элементов по r. Докажите, что число размещений из m+n элементов по r задаётся формулой (M+N)r, в которой, по окончании возведения в степень, нужно заменить все показатели индексами.

Упражнение №40*.

Докажите, что при n³2 и |x|?1 (1+x)n+(1-x)n?2n.

Упражнение №41.

Укротитель желает вывести на арену 5 львов и 4 тигров, наряду с этим два тигра не должны идти рядом. какое количество методами он может расположить зверей?

(Put intervals in between any two lions, before and after them)

Упражнение №42.

Задачи повышенной трудности. Из плит 30´50см строится лестница, ведущая из точки А в точку В.

АС=4,5м, ВС=1,5м. Высота каждой ступени должна быть ровно 30см, а её протяженность кратна 50см. какое количество методами возможно выстроить лестницу?

(This problem one also can reformulate, coding each stairs by 1 and 0: put 0 when broken line goes right and 1 where it goes up. Thereafter one can reduce this problem to the previous one).

За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. какое количество методами возможно выбрать из них 5 рыцарей, каковые не враждовали бы между собой, в случае если любой рыцарь враждует лишь с двумя собственными соседями по столу?

Дабы свести эту задачу к прошлым, нужно порвать круглую цепочку рыцарей так, дабы они уже образовывали последовательность. Для этого нужно выбрать какого-нибудь рыцаря и разглядеть два случая: в то время, когда он входит в команду из 5 рыцарей (а, значит, оба его соседа не входят) и в то время, когда, напротив, он в неё не входит. А сейчас

Упражнение №43.

Решите эту задачу.

Упражнение №44.
Выведите следующие два свойства треугольника Паскаля:

a) Задачи повышенной трудности.

b) При переходе к следующей строчку треугольника Паскаля сумма чисел в строчке удваивается.Задачи повышенной трудности.

Упражнение №45.
Докажите, что Задачи повышенной трудности. =3n.

Напишите и обоснуйте естественное обобщение данной формулы.

Разглядим сочетания без повторений из n элементов а1,а2,…,аn. Сочетаний из k элементов будет Задачи повышенной трудности. и в них, исходя из этого, будет всего k? Задачи повышенной трудности. элементов (в случае если любой элемент вычислять заново в каждом из этих сочетаний). Иначе, в случае если элемент входит в некое сочетание а1а2а3а4,тоостальныевходящие в это сочетание элементыобразуют уже сочетание из n-1 элемента. Любой из этих остальных элементов (не считая уже выбранного элемента) может, как входить в какое-либо сочетание вместе с этим фиксированным элементом, так и не входить в него.
Пользуясь этими наводящими мыслями, докажите, что

Упражнение №46*.
Задачи повышенной трудности.

Сейчас разглядим сочетания с повторениями – число комбинаций длины m из предметов n+1 типа. Скажем, разных слов длины m в алфавите из n+1-ой буквы.

Мы уже знаем, что их Задачи повышенной трудности. . Разобьём их на классы Кi по числу вхождений первой буквы. Так, в класс К0 она не входит, в класс К2 входит два раза и т.д.

Пользуясь этим разбиением, докажите, что

Упражнение №47.

Задачи повышенной трудности.

Упражнение №48.

Выведите из прошлого упражнения формулу

Задачи повышенной трудности.

Упражнение №49.

Выведите из прошлого упражнения формулы:

1+2+…+m= Задачи повышенной трудности. (A)

1?2+2?3+…+m(m+1)= Задачи повышенной трудности. (B)

1?2?3+2?3?4+…+m(m+1)(m+2)= Задачи повышенной трудности. (C)

Упражнение №50.

Подмечая, что n2=n(n+1)-n и применяя формулы (А) и (В), выведите формулу

12+22+…+m2= Задачи повышенной трудности. (D)

Упражнение №51.

Действия по подобию и образцу прошлого упражнения, выведите формулу

13+23+…+m3= Задачи повышенной трудности. (Е)

Разглядим сейчас сочетания без повторений из n элементов по m. Назовём снова эти n элементов буквами и разобьём их на два типа, «согласных» и «гласных». Пускай в первоначальный тип входят p букв, а во второй – n-p соответственно. Тогда каждое сочетание возможно характеризовать числом входящих в него гласных букв.
Применяя эту интерпретацию, выведите формулу:

Упражнение №52.

Задачи повышенной трудности.

Упражнение №53.

Получите из прошлой формулы формулу

Задачи повышенной трудности. .

В частности, Задачи повышенной трудности.

Опять заберём алфавит из n букв и разобьём его на р гласных и n-p согласных. Составим всевозможные сочетания с повторениями из n букв.
Разобьём их на классы, отнеся к k-му классу слова, которые содержат k гласных.
Применяя это разбиение, выведите формулу:

Упражнение №54.

Задачи повышенной трудности.

Применяя упражнение 125а из замены №3 и конспекта p®p+1; n®n+2 и m®m-n, получите из этого тождество:

Упражнение №55.

Задачи повышенной трудности.

Обобщите эти тождества, разглядев буквы не двух (гласные-согласные), а q типов, к примеру, q цветов, причём одноцветные буквы различаются ещё и шрифтом. Букв i-го типа имеется ni экземпляров. Составляя из них всевозможные сочетания без повторений из m элементов, разобьём их на классы, характеризуя класс комплектом целых неотрицательных чисел (m1,m2,…,mq); 0?mi?ni; m1+m2+…+mq=m.
Отыскав в памяти правило произведения, получите тождество:

Упражнение №56.

Задачи повышенной трудности., гдеn1+n2+…+nq=n

Упражнение №57.

Докажите тождество: Задачи повышенной трудности. .

Упражнение №58.

Выведите из прошлого тождества тождество Задачи повышенной трудности.

Упражнение №59.

Докажите тождество: Задачи повышенной трудности.

Упражнение №60.

Докажите, что

a) Задачи повышенной трудности. ;

b) Задачи повышенной трудности. ;

c) Задачи повышенной трудности. ;

d) 1+14 Задачи повышенной трудности.

Упражнение №61.

Докажите тождество:

Задачи повышенной трудности.

Применяя формулу a+b+…+x+y= ((a+b+…+x+y)+(y+x+…+b+a)):2, вычислите суммы:

Упражнение №62.

a) Задачи повышенной трудности. ;

b) Задачи повышенной трудности. ;

c) Задачи повышенной трудности.

Упражнение №63.

a) Задачи повышенной трудности. ;

b) Задачи повышенной трудности. ;

c) Задачи повышенной трудности.

Упражнение №64.

a) Задачи повышенной трудности. ;

b) Задачи повышенной трудности.

c) Задачи повышенной трудности.

Упражнение №65.

a) Задачи повышенной трудности. ;

b) Задачи повышенной трудности.

Возможность.

Def. Конечное множество Е={e1,e2,…,en} назовём пространством элементарных событий, элементы (точки) ei, i=1,…,n этого множества назовём элементарными событиями, в случае если на этом множестве задана неотрицательная функция, именуемая возможностью, такая, что Задачи повышенной трудности. .

Подмножества множества Е именуются событиями, и возможность события есть (по определению) суммой возможностей составляющих его элементарных событий.

Упражнение №66.

Из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 выбирается сперва одна цифра, а после этого вторая. Предположим, что все 20 вероятных финалов равновероятны.
Каковы возможности того, что

a) в первоначальный раз будет выбрана нечётная цифра;

b) во второй раз будет выбрана нечётная цифра;

c) оба раза будут выбраны нечётные цифры?

Упражнение №67.

Монета кидается , пока два раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Каждому вероятному финалу, складывающемуся из n бросаний, припишем возможность, равную 2-n. Какова возможность того, что опыт закончится до 6-го бросания?

Упражнение №68.

Три игрока a, b и c играются в настольный теннис. В первом туре играются a и b, во втором туре победитель играется с с, в третьем – победитель с проигравшим в первом туре и т.д. (проигравший в следующей партии не играется). Турнир длится , пока один из игроков не победит двух партий подряд. Ничьи исключаются. Вероятные финалы турнира описываются схемой: аа, aсс, acbb, acbaa, bb, bcc, bcaa,…
Каждому элементарному событию, складывающемуся из последовательности, длиной k букв, припишем возможность 2-k. Докажите, что возможность того, что победитель не определится до k-го тура, равна 2-k+1.

Упражнение №69.

На шести гранях кости-кубика написаны цифры от 1 до 6. При бросании кубика вычисляем выпадение каждой грани равновероятным (равным Задачи повышенной трудности. ). Какова возможность того, что при 6 бросаниях 1 не выпадет ни разу?

Упражнение №70.

В СШАкаждый из 50 штатов представлен в сенате двумя сенаторами.В комитет из 50 сенаторов случайным образом[1]выбирают сенаторов. Какова возможность того, что в этом комитете не будет никого из двух сенаторов от штата Юта?

Упражнение №71.

Бросаем r пронумерованных шаров случайным образом в n коробок. Какова возможность того, что в заданном коробке окажется ровно k шаров (0?k?r)?

Упражнение №72.

Будем сейчас вычислять шары неразличимыми, так что чёртом размещения шаров по коробкам помогает комплект чисел {r1, r2, …rn}, где ri – это число шаров в i-ом коробке; 0?ri?r и r1+r2+…+rn=r. Для случая распределения 6 шаров по 6 коробкам

А) выясните возможность того, что в каждом коробке окажется ровно по одному шару;

В) выясните самоё вероятное распределение шаров по коробкам.

Упражнение №73.

Пускай имеются n шаров двух цветов: n1 белых и n2=n-n1 тёмных. Выбираем из них r шаров. Какова возможность того, что среди выбранных шаров окажется ровно k белых?

Упражнение №74.

Применим итог, полученный в прошлом упражнении к следующей задаче.
Из озера выловили 1000 рыб. Их пометили и отпустили снова в озеро. Через некое время выловили опять 1000 рыб. 100 из них были помеченными. Какова самая вероятная оценка числа рыб, живущих в озере? Обобщите задачу, считая малоизвестное число рыб в озере n, число пойманных при первом улове рыб (играющих роль белых шаров) n1, число пойманных при втором улове рыб r, число меченых рыб k. Пускай qk(n) обозначает возможность того, что во втором улове выяснилось ровно k помеченных рыб.
Выясните, при каком n достигается максимум qk(n) при данном k, посчитав, до каких пор отношение qk(n):qk(n-1) будет больше 1 (другими словами, функция qk(n) возрастает).

Упражнение №75.

какое количество методами возможно поставить на шахматной доске две ладьи так, дабы они били друг друга?

Упражнение №76.

Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. какое количество букв возможно составить из последовательностей длины не более, чем в 5 знаков?

Упражнение №77.

какое количество разных костяшек домино возможно образовать, применяя числа 1, 2,…,n?

Упражнение №78.

Случайным образом (т.е., с равной возможностью) расставляются в ряд числа 1, 2,…,n.

Какова возможность того, что

a) числа 1 и 2 окажутся рядом и как раз в этом порядке;

b) числа 1, 2 и 3 окажутся рядом и как раз в этом порядке.

числа 1 и 2 окажутся рядом и как раз в этом порядке

Упражнение №79[2].

Каковы возможности того, что среди трёх выбранных наугад цифр окажутся

a) три однообразных;

b) две однообразных;

c) все три различных?

Упражнение №80.

У человека имеется n ключей, из которых лишь один подходит к замку.
Он последовательно испытывает их. Докажите, что с однообразными возможностями данный процесс может закончиться по окончании первого, второго, …, n-го опробований.
Упражнение №81.

В городе с населением в n+1 человек некто определил новость. Он через сутки говорит о ней первому встречному, тот через сутки – второму первому встречному и без того потом. Любой человек, в первый раз определивший новость, передаёт её за сутки любому из остальных n человек с однообразной возможностью.

Каковы возможности того, что

a) в течение r дней новость не возвратится к тому, кто определил о ней первым;

b) новость не возвратится ни к кому, кто о ней уже знал.

Во многих случаях мы имеем дело с событиями, каковые смогут закончиться одним из двух финалов. Подброшенная монета может упасть орлом либо решкой, стрелок может попасть либо промахнуться, ученик в тесте может выбрать верный ответ либо неверный и т.д. Опыт, что может закончиться одним из двух вариантов, именуется опробованием Бернулли. К примеру, в случае если обозначать один из финалов буквой У, а второй Н, то по окончании трёх опробований по схеме Бернулли, мы можем взять следующие элементарные события: УНН, УНУ, ННН и т.д. Допустим, что возможность финала «У» равна при каждом опробовании q, а возможность «Н» равна q (q+p=1).

Упражнение №82.

Чему равна возможность события «НУН» в серии из трёх опробований Бернулли?

Упражнение №83.

Чему равна возможность появления двух «У» в серии из 5 опробований Бернулли?

Упражнение №84.

Остап Бендер играется против участников шахматного клуба на 6 досках. Возможность выигрыша у него – 0,75. Какова возможность того, что Остап Бендер победит не меньше, чем в 5 поединках?

Упражнение №85.

Некто решил совершить лотерею. Для этого он изготовил 100 билетов и сказал, что один из них есть выигрышным с выигрышем в 500р, а на 10 вторых выдаётся выигрыш по 100 рублей. Остальные 89 билетов ничего не побеждают. По какой минимальной цене обязан устроитель реализовывать собственные билеты, если он желает получить не меньше 1000 рублей, а проведение самой лотереи стоит также 1000 рублей?

Эта задача подходит нас к следующим определениям.

Def. Функция Х:Е®Q, заданная на пространстве Е элементарных событий, именуется случайной величиной.

Пример. Пускай пространство Е={e1,e2,e3,e4,e5} складывается из 5 элементарных событий с возможностями р(е1)=р1=0; р(е2)=р2=0,5; р(е3)=р3=0,25; р(е4)=р4=р5=0,125.

Задачи повышенной трудности. Пускай Х(е1)=Х(е2)=3, Х(е3)=-2, Х(е4)=Х(е5)=-1. Эта случайная величина принимает три значения: -1, -2 и 3. Сейчас определим другую функцию, именуемую распределением случайной величины Х. Еёзададим на множестве значений случайной величины Х.
В нашем случае таковой областью было всё множество рациональных чисел Q, не смотря на то, что лишь три из них вправду являлись образами каких-то элементов из Е. На всех остальных числах положим рХ(t)=0. На этих же значениях посмотрим, чему равны возможности соответствующих множеств. рХ(3)=Р(Х=3)=р1+р2=0,5. рХ(-1)=Р(Х=-1)=р4+р5=0,25. рХ(-2)=Р(Х=-2) =р3=0,25. График функции распределения отечественной случайной величины в итоге оказался таким:

Задачи повышенной трудности. Ясно, что сумма значений функции распределения любой случайной величины равняется 1 – так как это сумма возможностей всех элементарных событий вероятностного пространства Е. Легко все Е разбивается на подмножества, соответствующие каждому значению случайной величины и берутся возможности этих подмножеств (как суммы возможностей входящих в них элементарных подмножеств).

Пускай случайная величина Х принимает ровно k значений х1,…,хk с возможностями р(Х=хi)=pi соответственно. Математическим ожиданием случайной величины Х именуют число Е(Х)= Задачи повышенной трудности. .

При, в то время, когда речь заходит, к примеру, об игре и хi – эта сумма выигрыша, а рi – его возможность, то Е(Х) имеет суть возможности неспециализированного выигрыша. Какой суть в этом случае покупают отрицательные значения хi?

Упражнение №86.

a) Чему равняется математическое ожидание Е(Х) в случае если все значения случайной величины Х равновероятны?

b) Отыщите Е(Х) для случайной величины, принимающей все целые значения от -15 до 15 с равными возможностями;

c) Отыщите математическое ожидание и распределение случайной величины, равной сумме очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости;

d) Отыщите математическое ожидание и распределение случайной величины, равной числу клеток в подбитом корабле соперника в следствии первого выстрела при игре в морской бой.

Случайные размеры, как и каждые функции возможно складывать и умножать на числа. Пускай Х и У – две случайные размеры, а с – число.

Упражнение №87.

a) Докажите, что Е(сХ)=сЕ(Х) и Е(Х+У)=Е(Х)+Е(У);

b) Примените доказанные факты к ответу следующей задачи.
Игроки попеременно подбрасывают игральную кость, и после этого продвигают фишку на столько клеток вперёд по игровому полю, сколько очков выпало на кости. Отыщите математическое ожидание случайной величины, равной числу клеток, на каковые продвинется фишка по окончании 10 бросков.

c) Симметричную монету кинули 5 раз. Отыщите математическое ожидание случайной величины, равной числу выпавших орлов.

d) Пускай S – число удач в серии из n опробований Бернулли с возможностью успеха р. Отыщите Е(S).

Во многих вычислениях мы применяли формулу «возможность одновременного наступления двух событий равна произведению их возможностей». Эта формула определяет независимостьсобытий друг от друга, то, что наступление (либо не наступление) одного из них никак не отражается на возможности наступления другого.

Итак, по определению, события А и В именуются свободными, в случае если Р(АCВ)=Р(А)´Р(В). Событие Ас=Е\А (дополнение А) именуется противоположным событием для А. Разумеется,

Геометрическая задача повышенной сложности: трапеция


Понравилась статья? Поделиться с друзьями: